Orateurs invités

• Didier Bresch (CNRS, Université Savoie Mont-Blanc)

Titre:  Comment quantifier la compacité dans un cadre de régularité faible par un outil pondéré ?

Résumé: Lors de cet exposé, je décrirai différents exemples de la mécanique des fluides sur lesquels il est possible d'obtenir de la compacité sur des quantités transportées dans un cadre non régulier en vitesse et si la compacité est assurée initialement. Nous verrons que tout passe par l'introduction de contrôles qui suivent l'écoulement et qui aident à mesurer l'ensemble où  les choses pourraient mal se passer. Il s'agit là d'une série de travaux avec P.-E. Jabin (Penn State University) avec un dernier travail récent concernant Navier-Stokes compressible avec pression hétérogène qui a été obtenu à trois avec F. Wang  (University of Maryland).

• Francesco Fanelli (ICJ, Université Lyon 1)

Titre: On some non-homogeneous perturbations of the incompressible Euler equations

Résumé: In this talk we are concerned with the well-posedness theory for some models of non-homogeneous inviscid fluids. The non-homogeneity can be represented either by the presence of a non-constant density function, or by the variations of a self-generated magnetic field (ideal MHD). For small size of the non-homogeneity, all those models can be viewed (in a loose sense) as perturbations of the incompressible Euler equations. Yet, they are not known to be globally well-posed, even in two space dimensions (contrary to the Euler case).
Here we focus on the case of the ideal MHD system. We show an improved lower bound (with respect to the one given by classical quasi-linear hyperbolic theory) on the lifespan of the solutions in $2$-D. In particular, from that bound we derive an "asymptotically global" well-posedness result: for small size of the initial magnetic field, the lifespan of the corresponding solution is very large and tends to be infinite.
This is a joint work with Dimitri Cobb (Université Claude Bernard Lyon 1).

• Isabelle Gallagher (ENS de Paris)

Titre: Strichartz estimates and local dispersion on the Heisenberg group.

Résumé: The Schrödinger equation on the Heisenberg group is an example of a totally non-dispersive evolution equation, and for this reason the classical approach that permits to obtain Strichartz estimates from dispersive estimates is not available. We shall nevertheless show that Strichartz estimates do exist, by use of Fourier restriction methods. Using a representation of the Schrödinger kernel, we shall also prove local dispersive estimates. This corresponds to joint works with Hajer Bahouri and Davide Barilari.

• Louise Gassot (Paris-Saclay)

Titre: Comportement en temps long de solutions pour une équation de Benjamin-Ono amortie.

Résumé: On considère une équation de Benjamin-Ono sur le tore amortie par les petits modes de Fourier (cos et sin). Cette équation est globalement bien posée dans L^2(T). On décrira les limites faibles des trajectoires dans L^2(T) lorsque le temps tend vers l'infini, et on verra que les trajectoires sont relativement compactes. Enfin, on montrera le caractère borné des normes de Sobolev d'ordre supérieur pour cette équation. Cette étude est basée sur une transformée de Fourier non linéaire adaptée à l'équation de Benjamin-Ono, appelée transformation de Birkhoff, que nous introduirons.

• Luc Molinet (Institut Denis Poisson,Université de Tours)

Titre: Sur le caractère bien posé  dans des espaces de faible régularité  d'équations de type KdV à coefficients variables.

Résumé: Nous étudions des équations de type KdV avec des coefficients dépendant de l'espace et du temps. Sous certaines hypothèses sur le coefficient  de dispersion et sur le rapport entre ce dernier et le coefficient d'anti-dissipation, nous montrons l'existence et l'unicité de solutions dans les espaces de Sobolev d'indice supérieur à 1/2. Notre approche combine un changement d'inconnue et des estimations de dispersion. Ce travail est en commun avec R. Talhouk et I. Zaiter (Université Libanaise).

• Christophe Prange (CNRS, Université Cergy-Paris)

Titre: Quantitative regularity for the Navier-Stokes equations via spatial concentration.

Résumé: In this talk I will focus on two related aspects of the regularity theory for the three-dimensional Navier-Stokes equations: quantitative regularity estimates on the one hand and concentration estimates for blow-up solutions on the other hand. This connection enables in particular a quantification of Seregin's 2012 regularity criterion in terms of the critical $L^3$ norm. A counterpart of this is that we are able to give lower bounds on the blow-up rate of certain critical norms near potential singularities in the wake of Tao's work in 2019. This talk is based on recent works in collaboration with Tobias Barker (University of Warwick).

• Tristan Robert (ENS de Rennes)

  Titre: Mesures de Gibbs pour NLS

  Résumé: La construction de mesures invariantes pour des EDP Hamiltoniennes sur des domaines bornés permet de fournir une description qualitative du flot en temps long. Après avoir expliqué quelques méthodes classiques pour construire ces mesures et montrer leur invariance par le flot Hamiltonien, on s'intéressera au cas particulier de l'équation de Schrödinger fractionnaire avec non-linéarité exponentielle afin d'illustrer le rôle de la dispersion ainsi que les conditions nécessaires sur la mesure pour implémenter les méthodes précédentes.

• Nikolay Tzvetkov (Université Cergy-Pontoise)
   
  Titre : Transport of gaussian measures under the flow of Hamiltonian PDE's

  Résume :  The transport of gaussian measures under transformations in an infinite dimensional space is a delicate issue as shown by the classical Cameron-Martin theorem (1944). We will show that a natural class of gaussian measures, invariant under the flow of linear Hamiltonian PDE's, remain quasi-invariant under nonlinear (Hamiltonian) perturbations. We will also identify the Radon-Nikodym derivative by using some hidden cancellations. We will make an attempt to keep the presentation at a non technical level by probably sacrificing a little the rigor.

• Hongwei Zhang (Institut Denis Poisson, Université d'Orléans)

Titre:  Équation des ondes sur les espaces symétriques de type non compact

Résumé: Nous établissons les estimations ponctuelles du noyau et les propriétés dispersives pour l’équation des ondes sur les espaces symétriques de type non compact et de rang général. Ceci est réalisé en combinant la méthode de la phase stationnaire et la paramétrix de Hadamard, et en particulier, en introduisant une décomposition spectrale subtile, qui nous permet de surmonter une difficulté bien connue dans l’analyse en rang supérieur, à savoir le fait que la densité de Plancherel n’est pas un symbole différentiel en général. En conséquence, nous déduisons l’inégalité de Strichartz pour une grande famille de paires admissibles et en déduisons que, comme sur les espaces hyperboliques, l’équation semi-linéaire correspondante est globalement bien posée pour les données initiales de régularité faible.